Конечная математика Примеры

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

Этап 1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

Этап 2

Пусть $u = x^{3}$ . Подставим $u$ вместо $x^{3}$ для всех.

$u^{2} + 72 u + 512$

Этап 3

Разложим $u^{2} + 72 u + 512$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $512$ , а сумма — $72$ .

$8, 64$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 8) (u + 64)$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

Этап 5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

Этап 7.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

Этап 8

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

Этап 9

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

Этап 10.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$