Конечная математика Примеры

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $1.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1.5$ в многочлен.

$2 \cdot {1.5}^{3} - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.2

Возведем $1.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 3.375 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3.375$ .

$6.75 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.4

Возведем $1.5$ в степень $2$ .

$6.75 - 5 \cdot 2.25 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.5

Умножим $- 5$ на $2.25$ .

$6.75 - 11.25 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.6

Вычтем $11.25$ из $6.75$ .

$- 4.5 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Этап 1.3.7

Умножим $- 37$ на $1.5$ .

$- 4.5 - 55.5 + 60$

Этап 1.3.8

Вычтем $55.5$ из $- 4.5$ .

$- 60 + 60$

Этап 1.3.9

Добавим $- 60$ и $60$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60}{2 x - 3}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ на $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$37 x$

$60$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 40 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							-	$40 x$	+	$60$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 40 x + 60$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 20$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ в виде набора множителей.

$(2 x - 3) (x^{2} - x - 20)$

Этап 2

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x - 3) ((x - 5) (x + 4))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 3) (x - 5) (x + 4)$