Конечная математика Примеры

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 0.125$ .

$- 0.25 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.25 - 5 \cdot 0.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.5

Умножим $- 5$ на $0.25$ .

$- 0.25 - 1.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.6

Вычтем $1.25$ из $- 0.25$ .

$- 1.5 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

Этап 3.7

Умножим $- 15$ на $- 0.5$ .

$- 1.5 + 7.5 - 6$

Этап 3.8

Добавим $- 1.5$ и $7.5$ .

$6 - 6$

Этап 3.9

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6}{2 x + 1}$

Этап 5

Разделим $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$15 x$

$6$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x - 6$

Этап 6

Запишем $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (x^{2} - 3 x - 6)$