Конечная математика Примеры

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ не определено.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $12 x + 30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $16 x + 40$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Этап 3.1.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Этап 3.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Этап 3.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.3

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.1.2

Разделим $6$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.4.6

Вынесем член $15$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Этап 3.7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Этап 3.8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Этап 3.8.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Этап 3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Этап 3.8.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.8.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.8.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.8.6

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.9

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Этап 3.10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Этап 3.10.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Разделим $6 + 15 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Этап 3.10.2.2

Разделим $4 + 10 \cdot 0$ на $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3

Сократим общий множитель $6 + 15 \cdot 0$ и $4 + 10 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Этап 3.10.2.3.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Этап 3.10.2.3.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Этап 3.10.2.3.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Умножим $0$ на $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 3.10.2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.5.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Этап 3.10.2.5.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{3}{2}$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{3}{2}$

Нет наклонных асимптот

Этап 7