Конечная математика Примеры

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Этап 1.1.3

Перенесем $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Этап 1.1.4

Перенесем $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Этап 1.2

Добавим $63$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Этап 1.3

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Этап 1.3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.3.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Этап 1.3.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.3.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9}{9}$

Этап 1.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Этап 1.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Этап 1.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Разделим $324$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 1.3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 1.3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Этап 1.4

Подставим $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ вместо $9 x^{2} - 18 x$ в уравнение $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Этап 1.5

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Этап 1.6

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} - 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Этап 1.6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Этап 1.6.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Этап 1.6.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.6.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.6.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.6.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Этап 1.6.4.2.1.3

Разделим $576$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Этап 1.6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Этап 1.6.4.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$e = 36$

Этап 1.6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Этап 1.7

Подставим $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ вместо $- 4 y^{2} - 24 y$ в уравнение $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Этап 1.8

Перенесем $36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Этап 1.9

Упростим $63 + 9 - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Добавим $63$ и $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Этап 1.9.2

Вычтем $36$ из $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Этап 1.10

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 1.11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 5.2

Упростим $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Этап 5.2.1.4

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Этап 5.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Этап 6.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ и $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 9