Конечная математика Примеры

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Этап 1

Развернем $(k + 1) (k + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Этап 2.1.2

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Этап 2.1.3

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Этап 2.2

Добавим $k$ и $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Этап 3

Чтобы записать $k^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Этап 4

Объединим $k^{2}$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Этап 7

Вынесем множитель $\frac{1}{6}$ из каждого члена.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 9

Умножим $k$ на $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 10

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 11

Развернем $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.2

Умножим $k^{2}$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Перенесем $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.2.2

Умножим $k$ на $k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.3

Умножим $k^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

Перенесем $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.1.6

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 12.2

Добавим $k^{2}$ и $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Этап 13

Перенесем $6$ влево от $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Этап 14

Добавим $12 k$ и $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Этап 15

Добавим $3 k^{2}$ и $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Этап 16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Разложим $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 16.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 16.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.5

Умножим $9$ на $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.6

Добавим $- 2$ и $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Этап 16.1.1.3.7

Умножим $13$ на $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Этап 16.1.1.3.8

Вычтем $13$ из $7$ .

$- 6 + 6$

Этап 16.1.1.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 16.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $k + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Этап 16.1.1.5

Разделим $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ на $k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Этап 16.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 k^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Этап 16.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Этап 16.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 k^{3} + 2 k^{2}$ .

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Этап 16.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Этап 16.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Этап 16.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 k^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Этап 16.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Этап 16.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 k^{2} + 7 k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Этап 16.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Этап 16.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Этап 16.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 k$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Этап 16.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Этап 16.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 k + 6$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Этап 16.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Этап 16.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Этап 16.1.1.6

Запишем $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ в виде набора множителей.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Этап 16.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Этап 16.1.2.1.1.2

Запишем $7$ как $3$ плюс $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Этап 16.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Этап 16.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Этап 16.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Этап 16.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Этап 16.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Этап 16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$