Конечная математика Примеры

$f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ в виде уравнения.

$y = (100 - x) (300 + 15 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = (100 - y) (300 + 15 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $(100 - y) (300 + 15 y) = x$ .

$(100 - y) (300 + 15 y) = x$

Этап 3.2

Упростим $(100 - y) (300 + 15 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $(100 - y) (300 + 15 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$100 (300 + 15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Этап 3.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $100$ на $300$ .

$30000 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $15$ на $100$ .

$30000 + 1500 y - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $300$ на $- 1$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - y (15 y) = x$

Этап 3.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y \cdot y = x$

Этап 3.2.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 (y \cdot y) = x$

Этап 3.2.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y^{2} = x$

Этап 3.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $15$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 15 y^{2} = x$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $300 y$ из $1500 y$ .

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} = x$

Этап 3.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} - x = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = - 15$ , $b = 1200$ и $c = 30000 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 1200 \pm \sqrt{1200^{2} - 4 \cdot (- 15 \cdot (30000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $1200$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $60$ на $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $1440000$ и $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $60$ из $3240000 - 60 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $60$ из $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $60$ из $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.7.3

Вынесем множитель $60$ из $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $60 (54000 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $1200$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $60$ на $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $1440000$ и $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $60$ из $3240000 - 60 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $60$ из $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $60$ из $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.7.3

Вынесем множитель $60$ из $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $60 (54000 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $1200$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.4

Умножим $60$ на $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $- 1$ на $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.6

Добавим $1440000$ и $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.7

Вынесем множитель $60$ из $3240000 - 60 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.7.1

Вынесем множитель $60$ из $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.7.2

Вынесем множитель $60$ из $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.7.3

Вынесем множитель $60$ из $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.8

Перепишем $60 (54000 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ обратной к $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ и $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 54000]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{15 (54000 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$15 (54000 - x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $15 (54000 - x) \geq 0$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $15 (54000 - x) \geq 0$ на $15$ .

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $54000 - x$ на $1$ .

$54000 - x \geq \frac{0}{15}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $15$ .

$54000 - x \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $54000$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 54000$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 54000$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq - 54000$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Разделим $- 54000$ на $- 1$ .

$x \leq 54000$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 54000]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ , представляет область определения $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ — обратная к $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Этап 6