Конечная математика Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y^{7}}$ в виде $y^{\frac{7}{3}}$ .

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{7} = x^{3}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

Этап 5.2.3

Перепишем $x^{7}$ в виде ${(x^{2})}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

Этап 5.2.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим правило умножения к $x^{2} \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.2.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.2.5.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 5.2.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.2.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Этап 5.2.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Этап 5.2.7

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Этап 5.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

Этап 5.2.7.2

Добавим $6$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Этап 5.2.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ в виде $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{3}{7}$ и $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $3$ на $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $21$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

Этап 5.3.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

Этап 5.3.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

Этап 5.3.3.5.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$