Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 8$ .

$(y - 8) (x) = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 8 x = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 8 x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8} (y - 8)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 8 x = \sqrt{2 y + 3}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$ .

$\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$

Этап 3.4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 y + 3}}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y + 3}$ в виде ${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Упростим ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 3)}^{1} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Упростим.

$2 y + 3 = {(y x - 8 x)}^{2}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Упростим ${(y x - 8 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Перепишем ${(y x - 8 x)}^{2}$ в виде $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ .

$2 y + 3 = (y x - 8 x) (y x - 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2

Развернем $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 3 = y x (y x - 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Перенесем $y$ .

$2 y + 3 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x \cdot x - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y (x \cdot x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 (x \cdot x) y - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x (- 8 x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x \cdot x$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Перенесем $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 (x \cdot x)$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.1.8

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.2

Вычтем $8 x^{2} y$ из $- 8 y x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Этап 3.4.3.3.1.3.2.2

Вычтем $8 x^{2} y$ из $- 8 x^{2} y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2}$

Этап 3.4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} = 2 y + 3$

Этап 3.4.4.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y = 3$

Этап 3.4.4.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y - 3 = 0$

Этап 3.4.4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.4.5

Подставим значения $a = x^{2}$ , $b = - 16 x^{2} - 2$ и $c = 64 x^{2} - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 16 x^{2} - 2) \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5

Пусть $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Подставим $u$ вместо $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.1

Перепишем ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ в виде $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.2

Развернем $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.5.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.5

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.5.3.2

Добавим $32 x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6

Вынесем множитель $4$ из $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.6.1

Вынесем множитель $4$ из $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.2

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.8.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.6

Умножим $64$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.1.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.2

Объединим противоположные члены в $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.8.2.1

Вычтем $64 x^{4}$ из $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.2.2

Добавим $16 x^{2} + 1$ и $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.8.3

Добавим $16 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.9

Перепишем $4 (19 x^{2} + 1)$ в виде $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.9.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.6.11

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.1

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2

Сократим общий множитель $16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.7.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Этап 3.4.4.7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5

Пусть $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Подставим $u$ вместо $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.5.1

Перепишем ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ в виде $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.2

Развернем $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.5

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.5.3.2

Добавим $32 x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6

Вынесем множитель $4$ из $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.8.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.6

Умножим $64$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.1.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.2

Объединим противоположные члены в $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.8.2.1

Вычтем $64 x^{4}$ из $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.2.2

Добавим $16 x^{2} + 1$ и $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.8.3

Добавим $16 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.9

Перепишем $4 (19 x^{2} + 1)$ в виде $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.1.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.9.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3

Сократим общий множитель $16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.8.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Этап 3.4.4.8.3.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.4.8.3.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{19 x^{2} + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$19 x^{2} + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$19 x^{2} \geq - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $19 x^{2} \geq - 1$ на $19$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $19 x^{2} \geq - 1$ на $19$ .

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{19}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} \geq - \frac{1}{19}$

Этап 5.3.2.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 5.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.3.4.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.3.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.3.4.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

Обратная не существует

Этап 6