Конечная математика Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{2} + 12 x - 10$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} + 12 y - 10$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} + 12 y - 10 = x$ .

$2 y^{2} + 12 y - 10 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} + 12 y - 10 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 12$ и $c = - 10 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 10 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 8$ на $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $144$ и $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $8$ из $224 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $8 (28 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 8$ на $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $144$ и $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $8$ из $224 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $8 (28 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.6.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2 (28 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{2 (28 + x)})}{2}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{2 (28 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{2 (28 + x)})}{2}$

Этап 3.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 8$ на $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $144$ и $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $8$ из $224 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $8 (28 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 - \sqrt{2 (28 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Изменим порядок $28$ и $x$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 3.7.5.2

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 3.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 (x + 28)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Этап 3.7.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (\sqrt{2 (x + 28)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Этап 3.7.5.5

Перепишем $- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 28)})$ в виде $- (6 + \sqrt{2 (x + 28)})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Этап 3.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 28, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (28 + x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (28 + x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $2 (28 + x) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $2 (28 + x) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (28 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (28 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $28 + x$ на $1$ .

$28 + x \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$28 + x \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $28$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 28$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 28, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Этап 6