Конечная математика Примеры

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Этап 1

Запишем $f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ в виде уравнения.

$y = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$u = - 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$ .

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$

Этап 3.2

Упростим $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y t - 4 y \cdot - 4 + 4 y (t - 3) = u$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y (t - 3) = u$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y t + 16 y + 4 y t + 4 y \cdot - 3 = u$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y = u$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Добавим $- 4 y t$ и $4 y t$ .

$16 y + 0 - 12 y = u$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $16 y$ и $0$ .

$16 y - 12 y = u$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $12 y$ из $16 y$ .

$4 y = u$

Этап 3.3

Разделим каждый член $4 y = u$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 y = u$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{u}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ обратной к $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (u)) = u$ и $f (f^{- 1} (u)) = u$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (u))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u (t - 4)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4) + t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t + 4 + t - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.5

Добавим $- t$ и $t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (0 + 4 - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.6

Добавим $0$ и $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (4 - 3)}{4}$

Этап 5.2.3.7

Вычтем $3$ из $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u \cdot 1}{4}$

Этап 5.2.3.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $u$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = u$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (u))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{u}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{u}{4}) = - 4 \frac{u}{4} (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) (t - 3)$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 (- 1) (\frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{u}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{u}{4}) = - 1 u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{u}{4}) = - u t - u \cdot - 4 + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Этап 5.3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u (t - 3)$

Этап 5.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t + u \cdot - 3$

Этап 5.3.3.7

Перенесем $- 3$ влево от $u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t - 3 u$

Этап 5.3.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим противоположные члены в $- u t + 4 u + u t - 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Добавим $- u t$ и $u t$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u + 0 - 3 u$

Этап 5.3.4.1.2

Добавим $4 u$ и $0$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u - 3 u$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $3 u$ из $4 u$ .

$f (\frac{u}{4}) = u$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (u)) = u$ и $f (f^{- 1} (u)) = u$ , то $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ — обратная к $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$