Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ .

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $y^{2 - 4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$- 5 y^{- - 2} = x$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 5 y^{2} = x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 5 y^{2} = x$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разделим каждый член $- 5 y^{2} = x$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

Этап 3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

Этап 3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Этап 3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Этап 3.3.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Этап 3.3.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ обратной к $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \frac{x}{5} \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x}{5} \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x}{5} \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Разделим $\frac{x}{5}$ на $1$ .

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\frac{x}{5} \leq 0$

Этап 5.3.2.2

Умножим обе части на $5$ .

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Этап 5.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Этап 5.3.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \leq 0 \cdot 5$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Умножим $0$ на $5$ .

$x \leq 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2 - 4} = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $x^{2 - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$x^{- 2} = 0$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Этап 5.4.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 5.4.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5.4.3

Зададим основание в $x^{2 - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.4.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Найдем множество значений обратной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Найдем множество значений $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.5.2

Найдем множество значений $- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, 0]$

Этап 5.5.3

Найдем объединение $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.6

Так как множество значений $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ не совпадает с областью определения $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ не является обратной к $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

Обратная не существует

Этап 6