Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 = x$

Этап 3.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 - x = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y^{2} - 6 y - 2 + 2 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 - 2 x = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x - 2 = 0$

Этап 3.4.4

Перенесем $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x - 6 y - 2 = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 2 x - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $36$ и $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $4$ из $8 x + 44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.6

Добавим $36$ и $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.7

Вынесем множитель $4$ из $8 x + 44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

Этап 3.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.6

Добавим $36$ и $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.7

Вынесем множитель $4$ из $8 x + 44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Этап 3.9.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Этап 3.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Этап 3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ и $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $3 + \sqrt{2 x + 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x + 11}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x + 11 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 11$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 11}{2}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{11}{2}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ , то $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Этап 6