Конечная математика Примеры

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Запишем

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = y$ и

$b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим выражение

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Этап 3.2.3.2

Разделим

$y + 1$ на

$1$ .

$y + 1 = x$

Этап 3.3

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$y = x - 1$

Этап 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Этап 5

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = x - 1$ обратной к

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ , подставив значение

$f$ в

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.1.2

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = x$ и

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим

$x + 1$ на

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в

$x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим

$x$ и

$0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

$f (x - 1)$ , подставив значение

$f^{- 1}$ в

$f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.2

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = x - 1$ и

$b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Добавим

$- 1$ и

$1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.2

Добавим

$x$ и

$0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.3

Вычтем

$1$ из

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем

$1$ из

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$f (x - 1) = x$

Этап 5.4

Так как

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

$f^{- 1} (x) = x - 1$ — обратная к

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$