Конечная математика Примеры

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Запишем

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ в виде уравнения.

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = y

$a = y$ и

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим выражение

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

\frac{y + 1}{1} = x

$\frac{y + 1}{1} = x$

\frac{y + 1}{1} = x

$\frac{y + 1}{1} = x$

Этап 3.2.3.2

Разделим

y + 1

$y + 1$ на

1

$1$ .

y + 1 = x

$y + 1 = x$

y + 1 = x

$y + 1 = x$

y + 1 = x

$y + 1 = x$

Этап 3.3

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

y = x - 1

$y = x - 1$

y = x - 1

$y = x - 1$

Этап 4

Replace

y

$y$ with

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

f^{- 1} (x) = x - 1

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Этап 5

Проверим, является ли

f^{- 1} (x) = x - 1

$f^{- 1} (x) = x - 1$ обратной к

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ , подставив значение

f

$f$ в

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.1.2

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 1

$b = 1$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель

x - 1

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим

x + 1

$x + 1$ на

1

$1$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в

x + 1 - 1

$x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим

x

$x$ и

0

$0$ .

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

f (x - 1)

$f (x - 1)$ , подставив значение

f^{- 1}

$f^{- 1}$ в

f

$f$ .

f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.2

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x - 1

$a = x - 1$ и

b = 1

$b = 1$ .

f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Добавим

- 1

$- 1$ и

1

$1$ .

f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.2

Добавим

x

$x$ и

0

$0$ .

f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.3

Вычтем

1

$1$ из

- 1

$- 1$ .

f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем

1

$1$ из

- 1

$- 1$ .

f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель

x - 2

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

f (x - 1) = x

$f (x - 1) = x$

f (x - 1) = x

$f (x - 1) = x$

f (x - 1) = x

$f (x - 1) = x$

f (x - 1) = x

$f (x - 1) = x$

Этап 5.4

Так как

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

f^{- 1} (x) = x - 1

$f^{- 1} (x) = x - 1$ — обратная к

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

f^{- 1} (x) = x - 1

$f^{- 1} (x) = x - 1$

f^{- 1} (x) = x - 1

$f^{- 1} (x) = x - 1$