Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Этап 3.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим выражение $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Этап 3.2.3.2

Разделим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 = x$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = x - 1$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x - 1$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x - 1$ и $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.3.3.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (x - 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x - 1$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$