Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(y - 7) (y + 1)$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ умножим на $(y - 7) (y + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ на $(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $(y - 7) (y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Развернем $(y - 7) (y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Этап 3.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Этап 3.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Этап 3.3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Этап 3.3.3.2.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Этап 3.3.3.2.1.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Этап 3.3.3.2.2

Вычтем $7 y$ из $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Этап 3.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Этап 3.3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Этап 3.3.3.4.2

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Этап 3.4.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Этап 3.4.3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Этап 3.4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.5

Подставим значения $a = x$ , $b = - 6 x - 1$ и $c = - 7 x + 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Этап 3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.4

Перепишем ${(- 6 x - 1)}^{2}$ в виде $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.5

Развернем $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.6.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Этап 3.4.6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Этап 3.4.6.9

Умножим $9$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.10.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.6.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.6.10.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.6.11

Добавим $36 x^{2}$ и $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.6.12

Вычтем $36 x$ из $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 3.4.7

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 3.4.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.4

Перепишем ${(- 6 x - 1)}^{2}$ в виде $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.5

Развернем $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.6.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.9

Умножим $9$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.10.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.11

Добавим $36 x^{2}$ и $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Этап 3.4.8.1.12

Вычтем $36 x$ из $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 3.4.8.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 3.4.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ обратной к $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Этап 5.3.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.2.3

Подставим значения $a = 64$ , $b = - 24$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.2.2

Умножим $- 256$ на $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.3

Вычтем $256$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.4

Перепишем $320$ в виде $8^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.4.2

Умножим $2$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Этап 5.3.2.4.3

Упростим $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.2.2

Умножим $- 256$ на $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.3

Вычтем $256$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.4

Перепишем $320$ в виде $8^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.5.2

Умножим $2$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Этап 5.3.2.5.3

Упростим $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.2.2

Умножим $- 256$ на $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.3

Вычтем $256$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.4

Перепишем $320$ в виде $8^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Этап 5.3.2.6.2

Умножим $2$ на $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Этап 5.3.2.6.3

Упростим $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.7

Объединим решения.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.19$

Этап 5.3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0.19$ в исходном неравенстве.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.2.3

Левая часть $- 1.2496$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 5.3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2.9.3.3

Левая часть $505$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Истина

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Ложь

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Истина

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Истина

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Ложь

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Истина

Этап 5.3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ или $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x = 0$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

Обратная не существует

Этап 6