Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{2} - 4 x - 9$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 4 x - 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 4 y - 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 4 y - 9 = x$ .

$y^{2} - 4 y - 9 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - 9 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 9 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 9 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $- 4 (- 13 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 9 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $- 4 (- 13 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 9 - x$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $- 4 (- 13 - x)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ обратной к $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ и $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 13, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 (- 13 - x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 1 (- 13 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{- 13 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Разделим $- 13 - x$ на $1$ .

$- 13 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$- 13 - x \leq 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $13$ к обеим частям неравенства.

$- x \leq 13$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- x \leq 13$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \leq 13$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{13}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{13}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{13}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Разделим $13$ на $- 1$ .

$x \geq - 13$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 13, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ , то $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ — обратная к $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Этап 6