Конечная математика Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ в виде уравнения.

$y = 3 x^{2} + 18 x + 23$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y^{2} + 18 y + 23$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 y^{2} + 18 y + 23 = x$ .

$3 y^{2} + 18 y + 23 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} + 18 y + 23 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 3$ , $b = 18$ и $c = 23 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (23 - x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 12$ на $23$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $276$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \cdot 4 + 12 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $12 (4 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 12$ на $23$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $276$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \cdot 4 + 12 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $12 (4 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 9 + \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.6.5

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 + \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3 (4 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - 1 (- \sqrt{3 (4 + x)})}{3}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - 1 (- \sqrt{3 (4 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (9 - \sqrt{3 (4 + x)})}{3}$

Этап 3.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $18$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (23 - x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 23 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 12$ на $23$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 - 12 (- x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 276 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.6

Вычтем $276$ из $324$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{48 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $12$ из $48 + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 \cdot 4 + 12 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \cdot 4 + 12 x$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $12 (4 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (4 + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.8.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.8.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2^{2} + x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (2^{2} + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (4 + x)}}{6}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 - \sqrt{3 (4 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Изменим порядок $4$ и $x$ .

$y = \frac{- 9 - \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 3.7.5.2

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 3.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3 (x + 4)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 9 - (\sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

Этап 3.7.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (9) - (\sqrt{3 (x + 4)})$ .

$y = \frac{- 1 (9 + \sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

Этап 3.7.5.5

Перепишем $- 1 (9 + \sqrt{3 (x + 4)})$ в виде $- (9 + \sqrt{3 (x + 4)})$ .

$y = \frac{- (9 + \sqrt{3 (x + 4)})}{3}$

Этап 3.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ обратной к $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 4, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (4 + x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (4 + x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $3 (4 + x) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $3 (4 + x) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (4 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 + x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $4 + x$ на $1$ .

$4 + x \geq \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$4 + x \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 4$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 4, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ , представляет область определения $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$ — обратная к $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 23$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9 - \sqrt{3 (4 + x)}}{3}, - \frac{9 + \sqrt{3 (x + 4)}}{3}$

Этап 6