Конечная математика Примеры

$f (x) = 5 (2 x + 3)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 (2 x + 3)$ в виде уравнения.

$y = 5 (2 x + 3)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 (2 y + 3)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 (2 y + 3) = x$ .

$5 (2 y + 3) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 (2 y + 3) = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 (2 y + 3) = x$ на $5$ .

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 y + 3)}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $2 y + 3$ на $1$ .

$2 y + 3 = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \frac{x}{5} - 3$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 y = \frac{x}{5} - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 y = \frac{x}{5} - 3$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{x}{5}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.3.1.2

Умножим $\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $\frac{x}{5}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x}{5 \cdot 2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 3}{2}$

Этап 3.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ обратной к $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 (2 x + 3))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{10} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{5 (2 x + 3)}{5 \cdot 2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 3 - 3}{2}$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $2 x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 (2 x + 3)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{10}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 (5)}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (2 (\frac{x}{2 \cdot 5}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} - 3 + 3)$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим противоположные члены в $\frac{x}{5} - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5} + 0)$

Этап 5.3.4.1.2

Добавим $\frac{x}{5}$ и $0$ .

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{10} - \frac{3}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$ — обратная к $f (x) = 5 (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - \frac{3}{2}$