Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log (4 y) = 2 x$

Этап 3.4

Перепишем $\log (4 y) = 2 x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $4 y = 10^{2 x}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $4 y = 10^{2 x}$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Этап 5.2.3.2

Упростим $1 \cdot \log (4 x)$ путем переноса $1$ под логарифм.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Этап 5.2.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.3.4

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Этап 5.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2 x$ из степени.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Этап 5.3.5

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Этап 5.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$