Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} y^{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 x$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 x}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x \geq 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Этап 6