Конечная математика Примеры

$f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Этап 1

Запишем $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ в виде уравнения.

$y = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = (\frac{2}{9}) y - \frac{1}{9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$ .

$\frac{2}{9} y - \frac{1}{9} = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{2}{9}$ и $y$ .

$\frac{2 y}{9} - \frac{1}{9} = x$

Этап 3.3

Добавим $\frac{1}{9}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{2 y}{9} = x + \frac{1}{9}$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y}{9} = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $\frac{9}{2} (x + \frac{1}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим $\frac{9}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 3.5.2.1.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 3.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ обратной к $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9})}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $\frac{2}{9}$ и $x$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9} - \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{9 (\frac{2 x}{9}) + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (- \frac{1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 9 (\frac{- 1}{9}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} ((\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = (\frac{2}{9}) (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{9 x}{2} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 (x)) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (9 x) + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{1 - 1}{9}$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + \frac{0}{9}$

Этап 5.3.4.3

Разделим $0$ на $9$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$ — обратная к $f (x) = (\frac{2}{9}) x - \frac{1}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{2} + \frac{1}{2}$