Конечная математика Примеры

$C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$

Этап 1

Запишем $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ в виде уравнения.

$y = 60 e^{- 0.14 t}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = 60 e^{- 0.14 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $60 e^{- 0.14 y} = t$ .

$60 e^{- 0.14 y} = t$

Этап 3.2

Разделим каждый член $60 e^{- 0.14 y} = t$ на $60$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $60 e^{- 0.14 y} = t$ на $60$ .

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{60 e^{- 0.14 y}}{60} = \frac{t}{60}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $e^{- 0.14 y}$ на $1$ .

$e^{- 0.14 y} = \frac{t}{60}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 0.14 y}) = \ln (\frac{t}{60})$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{- 0.14 y})$ , вынося $- 0.14 y$ из логарифма.

$- 0.14 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{60})$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 0.14 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{60})$

Этап 3.4.3

Умножим $- 0.14$ на $1$ .

$- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ на $- 0.14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- 0.14 y = \ln (\frac{t}{60})$ на $- 0.14$ .

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $- 0.14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.14 y}{- 0.14} = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{60})}{- 0.14}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Этап 3.5.3.2

Умножим на $1$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14}$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $0.14$ из $0.14$ .

$y = - \frac{1 \ln (\frac{t}{60})}{0.14 (1)}$

Этап 3.5.3.4

Разделим дроби.

$y = - (\frac{1}{0.14} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Этап 3.5.3.5

Разделим $1$ на $0.14$ .

$y = - (7.\overline{142857} \frac{\ln (\frac{t}{60})}{1})$

Этап 3.5.3.6

Разделим $\ln (\frac{t}{60})$ на $1$ .

$y = - (7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$

Этап 3.5.3.7

Умножим $7.\overline{142857}$ на $- 1$ .

$y = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Этап 4

Replace $y$ with $C^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$

Этап 5

Проверим, является ли $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ обратной к $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $C^{- 1} (C (t)) = t$ и $C (C^{- 1} (t)) = t$ .

Этап 5.2

Найдем значение $C^{- 1} (C (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$C^{- 1} (C (t))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t})$ , подставив значение $C$ в $C^{- 1}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{60 e^{- 0.14 t}}{60})$

Этап 5.2.3.2

Разделим $e^{- 0.14 t}$ на $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} \ln (e^{- 0.14 t})$

Этап 5.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 0.14 t$ из степени.

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \ln (e))$

Этап 5.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t \cdot 1)$

Этап 5.2.6

Умножим $- 0.14$ на $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = - 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$

Этап 5.2.7

Умножим $- 7.\overline{142857} (- 0.14 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $- 0.14$ на $- 7.\overline{142857}$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = 1 t$

Этап 5.2.7.2

Умножим $t$ на $1$ .

$C^{- 1} (60 e^{- 0.14 t}) = t$

Этап 5.3

Найдем значение $C (C^{- 1} (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$C (C^{- 1} (t))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))$ , подставив значение $C^{- 1}$ в $C$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60}))}$

Этап 5.3.3

Упростим $- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ путем переноса $7.\overline{142857}$ под логарифм.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln ({(\frac{t}{60})}^{7.\overline{142857}}))}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{t}{60}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{60^{7.\overline{142857}}}))}$

Этап 5.3.5

Возведем $60$ в степень $7.\overline{142857}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Этап 5.3.6

Умножим на $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33}))}$

Этап 5.3.7

Вынесем множитель $5024355493192.33$ из $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1 t^{7.\overline{142857}}}{5024355493192.33 (1)}))}$

Этап 5.3.8

Разделим дроби.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (\frac{1}{5024355493192.33} \cdot \frac{t^{7.\overline{142857}}}{1}))}$

Этап 5.3.9

Разделим $1$ на $5024355493192.33$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 (\frac{t^{7.\overline{142857}}}{1})))}$

Этап 5.3.10

Разделим $t^{7.\overline{142857}}$ на $1$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))}$

Этап 5.3.11

Умножим $- 0.14 (- \ln (0 t^{7.\overline{142857}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Умножим $- 1$ на $- 0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})}$

Этап 5.3.11.2

Упростим $0.14 \ln (0 t^{7.\overline{142857}})$ путем переноса $0.14$ под логарифм.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 e^{\ln ({(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})}$

Этап 5.3.12

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 {(0 t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$

Этап 5.3.13

Применим правило умножения к $0 t^{7.\overline{142857}}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0^{0.14} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Этап 5.3.14

Возведем $0$ в степень $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} {(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14})$

Этап 5.3.15

Перемножим экспоненты в ${(t^{7.\overline{142857}})}^{0.14}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t^{7.\overline{142857} \cdot 0.14})$

Этап 5.3.15.2

Умножим $7.\overline{142857}$ на $0.14$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 60 (0.01\overline{6} t)$

Этап 5.3.16

Умножим $0.01\overline{6}$ на $60$ .

$C (- 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})) = 1 t$

Этап 5.4

Так как $C^{- 1} (C (t)) = t$ и $C (C^{- 1} (t)) = t$ , то $C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$ — обратная к $C (t) = 60 e^{- 0.14 t}$ .

$C^{- 1} (t) = - 7.\overline{142857} \ln (\frac{t}{60})$