Конечная математика Примеры

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$

Этап 1

Запишем $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ в виде уравнения.

$y = - 16 t^{2} + 32 t$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = - 16 y^{2} + 32 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 16 y^{2} + 32 y = t$ .

$- 16 y^{2} + 32 y = t$

Этап 3.2

Вычтем $t$ из обеих частей уравнения.

$- 16 y^{2} + 32 y - t = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = - 16$ , $b = 32$ и $c = - t$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot (- t))}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $64$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $64$ из $1024 - 64 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Вынесем множитель $64$ из $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.3.2

Вынесем множитель $64$ из $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.3.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $64 (16 - t)$ в виде $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $64$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $64$ из $1024 - 64 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.3.1

Вынесем множитель $64$ из $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.3.2

Вынесем множитель $64$ из $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.3.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $64 (16 - t)$ в виде $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $64$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $64$ из $1024 - 64 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Вынесем множитель $64$ из $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.3.2

Вынесем множитель $64$ из $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.3.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $64 (16 - t)$ в виде $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ обратной к $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ и $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 16]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{16 - t}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$16 - t \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- t \geq - 16$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- t \geq - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- t \geq - 16$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$t \leq 16$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 16]$

Этап 5.4

Найдем область определения $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , а множество значений, определяемое уравнениями $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ , представляет область определения $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , то $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ — обратная к $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Этап 6