Конечная математика Примеры

$P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Этап 1

Запишем $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ в виде уравнения.

$y = 15 \sqrt{x - 1} + 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 15 \sqrt{y - 1} + 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$ .

$15 \sqrt{y - 1} + 3 = x$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$15 \sqrt{y - 1} = x - 3$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(15 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 1}$ в виде ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $15 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$15^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$225 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$225 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$225 {(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим.

$225 (y - 1) = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$225 y + 225 \cdot - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим $225$ на $- 1$ .

$225 y - 225 = {(x - 3)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$225 y - 225 = (x - 3) (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$225 y - 225 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$225 y - 225 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$225 y - 225 = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Добавим $225$ к обеим частям уравнения.

$225 y = x^{2} - 6 x + 9 + 225$

Этап 3.5.1.2

Добавим $9$ и $225$ .

$225 y = x^{2} - 6 x + 234$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ на $225$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $225 y = x^{2} - 6 x + 234$ на $225$ .

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{225 y}{225} = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 6 x}{225} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{225} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $225$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (75)} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 75} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{225} + \frac{- 2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{234}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $234$ и $225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $9$ из $234$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 (26)}{225}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $225$ .

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot 25}$

Этап 3.5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 4

Заменим $y$ на $P^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5

Проверим, является ли $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ обратной к $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $P^{- 1} (P (x)) = x$ и $P (P^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $P^{- 1} (P (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$P^{- 1} (P (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ , подставив значение $P$ в $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(15 \sqrt{x - 1} + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (5 \sqrt{x - 1}) + 3 (1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(3 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Применим правило умножения к $3 (5 \sqrt{x - 1} + 1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{3^{2} {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $9$ и $225$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 ({(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2})}{225} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $225$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{9 {(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{9 \cdot 25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $15 \sqrt{x - 1} + 3$ и $75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $2 (15 \sqrt{x - 1} + 3)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{75} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $75$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 (25)} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{3 (2 (5 \sqrt{x - 1} + 1))}{3 \cdot 25} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2}}{25} - \frac{2 (5 \sqrt{x - 1} + 1)}{25} + \frac{26}{25}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1} + 1) + 26}{25}$

Этап 5.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 2 (5 \sqrt{x - 1}) - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 \cdot 1 + 26}{25}$

Этап 5.2.3.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} - 2 + 26}{25}$

Этап 5.2.3.4

Добавим $- 2$ и $26$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{{(5 \sqrt{x - 1} + 1)}^{2} - 10 \sqrt{x - 1} + 24}{25}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Пусть $u = \sqrt{x - 1}$ . Подставим $u$ вместо $\sqrt{x - 1}$ для всех.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 u^{2} + 25}{25}$

Этап 5.2.4.2

Вынесем множитель $25$ из $25 u^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25 u^{2}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25}{25}$

Этап 5.2.4.2.2

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2}) + 25 (1)}{25}$

Этап 5.2.4.2.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (u^{2}) + 25 (1)$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (u^{2} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{x - 1}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({\sqrt{x - 1}}^{2} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ({(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 ((x - 1) + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.1.5

Упростим.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x - 1 + 1)}{25}$

Этап 5.2.4.4.2

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 (x + 0)}{25}$

Этап 5.2.4.4.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = \frac{25 x}{25}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$P^{- 1} (15 \sqrt{x - 1} + 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $P (P^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$P (P^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25})$ , подставив значение $P^{- 1}$ в $P$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{(\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) - 1} + 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{25}{25}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 1 \cdot 25}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26 - 25}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.4.2

Вычтем $25$ из $26$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{x^{2}}{15^{2}} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.5.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{15^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{15})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.5.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{25}} + 3$

Этап 5.3.3.5.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + \frac{1^{2}}{5^{2}}} + 3$

Этап 5.3.3.5.5

Перепишем $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - \frac{2 x}{75} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.5.6

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$\frac{2 x}{75} = 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.3.3.5.7

Перепишем многочлен.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{15} \cdot \frac{1}{5} + {(\frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.5.8

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = \frac{x}{15}$ и $b = \frac{1}{5}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.6

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.7.2

Умножим $5$ на $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x}{15} - \frac{3}{15})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.9

Применим правило умножения к $\frac{x - 3}{15}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Этап 5.3.3.10

Возведем $15$ в степень $2$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{225}} + 3$

Этап 5.3.3.11

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}} + 3$

Этап 5.3.3.12

Перепишем $\frac{{(x - 3)}^{2}}{15^{2}}$ в виде ${(\frac{x - 3}{15})}^{2}$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 \sqrt{{(\frac{x - 3}{15})}^{2}} + 3$

Этап 5.3.3.13

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Этап 5.3.3.14

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.14.1

Сократим общий множитель.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = 15 (\frac{x - 3}{15}) + 3$

Этап 5.3.3.14.2

Перепишем это выражение.

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x - 3 + 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$P (\frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}) = x$

Этап 5.4

Так как $P^{- 1} (P (x)) = x$ и $P (P^{- 1} (x)) = x$ , то $P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$ — обратная к $P (x) = 15 \sqrt{x - 1} + 3$ .

$P^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{225} - \frac{2 x}{75} + \frac{26}{25}$