Конечная математика Примеры

$f (x) = x (- 4 x + 180)$

Этап 1

Запишем $f (x) = x (- 4 x + 180)$ в виде уравнения.

$y = x (- 4 x + 180)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y (- 4 y + 180)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y (- 4 y + 180) = x$ .

$y (- 4 y + 180) = x$

Этап 3.2

Упростим $y (- 4 y + 180)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (- 4 y) + y \cdot 180 = x$

Этап 3.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 y \cdot y + y \cdot 180 = x$

Этап 3.2.1.2.2

Перенесем $180$ влево от $y$ .

$- 4 y \cdot y + 180 \cdot y = x$

Этап 3.2.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $y$ .

$- 4 (y \cdot y) + 180 \cdot y = x$

Этап 3.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 4 y^{2} + 180 \cdot y = x$

$- 4 y^{2} + 180 y = x$

Этап 3.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y^{2} + 180 y - x = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = - 4$ , $b = 180$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 180 \pm \sqrt{180^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $180$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $16$ из $32400 - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $16 (2025 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $180$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $16$ из $32400 - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $16 (2025 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $180$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 4 \cdot - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 + 16 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{32400 - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.3

Вынесем множитель $16$ из $32400 - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32400$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) - 16 x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16 x$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025) + 16 (- x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (2025) + 16 (- x)$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{16 (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $16 (2025 - x)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (2025 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{4^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 180 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (2025 - x)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 180 \pm 2^{2} \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{2 \cdot - 4}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{- 180 \pm 4 \sqrt{2025 - x}}{- 8}$ .

$y = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$

$y = \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ обратной к $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x (- 4 x + 180)$ и $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2025]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2025 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2025 - x \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $2025$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 2025$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 2025$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 2025$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 2025}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 2025$ на $- 1$ .

$x \leq 2025$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2025]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x (- 4 x + 180)$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = x (- 4 x + 180)$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$ — обратная к $f (x) = x (- 4 x + 180)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{45 + \sqrt{2025 - x}}{2}, \frac{45 - \sqrt{2025 - x}}{2}$

Этап 6