Конечная математика Примеры

Найти обратный элемент f(x)=sin( квадратный корень из e^x+1)
f(x)=sin(ex+1)f(x)=sin(ex+1)
Этап 1
Запишем f(x)=sin(ex+1)f(x)=sin(ex+1) в виде уравнения.
y=sin(ex+1)y=sin(ex+1)
Этап 2
Поменяем переменные местами.
x=sin(ey+1)x=sin(ey+1)
Этап 3
Решим относительно yy.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Перепишем уравнение в виде sin(ey+1)=xsin(ey+1)=x.
sin(ey+1)=xsin(ey+1)=x
Этап 3.2
Подставим uu вместо ey+1ey+1.
sin(u)=xsin(u)=x
Этап 3.3
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь uu из синуса.
u=arcsin(x)u=arcsin(x)
Этап 3.4
Подставить ey+1ey+1 вместо uu и решить ey+1=arcsin(x)ey+1=arcsin(x)
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.
ey+12=arcsin(x)2ey+12=arcsin(x)2
Этап 3.4.2
Упростим каждую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
С помощью nax=axnnax=axn запишем ey+1ey+1 в виде (ey+1)12(ey+1)12.
((ey+1)12)2=arcsin(x)2((ey+1)12)2=arcsin(x)2
Этап 3.4.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.1
Упростим ((ey+1)12)2((ey+1)12)2.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.1.1
Перемножим экспоненты в ((ey+1)12)2((ey+1)12)2.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, (am)n=amn(am)n=amn.
(ey+1)122=arcsin(x)2(ey+1)122=arcsin(x)2
Этап 3.4.2.2.1.1.2
Сократим общий множитель 22.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
(ey+1)122=arcsin(x)2(ey+1)122=arcsin(x)2
Этап 3.4.2.2.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
(ey+1)1=arcsin(x)2(ey+1)1=arcsin(x)2
(ey+1)1=arcsin(x)2(ey+1)1=arcsin(x)2
(ey+1)1=arcsin(x)2(ey+1)1=arcsin(x)2
Этап 3.4.2.2.1.2
Упростим.
ey+1=arcsin(x)2ey+1=arcsin(x)2
ey+1=arcsin(x)2ey+1=arcsin(x)2
ey+1=arcsin(x)2ey+1=arcsin(x)2
ey+1=arcsin(x)2ey+1=arcsin(x)2
Этап 3.4.3
Решим относительно yy.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.3.1
Вычтем 11 из обеих частей уравнения.
ey=arcsin(x)2-1ey=arcsin(x)21
Этап 3.4.3.2
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
ln(ey)=ln(arcsin(x)2-1)ln(ey)=ln(arcsin(x)21)
Этап 3.4.3.3
Развернем левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.3.3.1
Развернем ln(ey)ln(ey), вынося yy из логарифма.
yln(e)=ln(arcsin(x)2-1)yln(e)=ln(arcsin(x)21)
Этап 3.4.3.3.2
Натуральный логарифм ee равен 11.
y1=ln(arcsin(x)2-1)y1=ln(arcsin(x)21)
Этап 3.4.3.3.3
Умножим yy на 11.
y=ln(arcsin(x)2-1)y=ln(arcsin(x)21)
y=ln(arcsin(x)2-1)y=ln(arcsin(x)21)
y=ln(arcsin(x)2-1)y=ln(arcsin(x)21)
y=ln(arcsin(x)2-1)y=ln(arcsin(x)21)
y=ln(arcsin(x)2-1)y=ln(arcsin(x)21)
Этап 4
Заменим yy на f-1(x)f1(x), чтобы получить окончательный ответ.
f-1(x)=ln(arcsin(x)2-1)f1(x)=ln(arcsin(x)21)
Этап 5
Проверим, является ли f-1(x)=ln(arcsin(x)2-1)f1(x)=ln(arcsin(x)21) обратной к f(x)=sin(ex+1)f(x)=sin(ex+1).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий f-1(f(x))=xf1(f(x))=x и f(f-1(x))=xf(f1(x))=x.
Этап 5.2
Найдем значение f-1(f(x))f1(f(x)).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Представим результирующую суперпозицию функций.
f-1(f(x))f1(f(x))
Этап 5.2.2
Найдем значение f-1(sin(ex+1))f1(sin(ex+1)), подставив значение ff в f-1f1.
f-1(sin(ex+1))=ln(arcsin(sin(ex+1))2-1)f1(sin(ex+1))=ln(arcsin(sin(ex+1))21)
f-1(sin(ex+1))=ln(arcsin(sin(ex+1))2-1)f1(sin(ex+1))=ln(arcsin(sin(ex+1))21)
Этап 5.3
Найдем значение f(f-1(x))f(f1(x)).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Представим результирующую суперпозицию функций.
f(f-1(x))f(f1(x))
Этап 5.3.2
Найдем значение f(ln(arcsin(x)2-1))f(ln(arcsin(x)21)), подставив значение f-1f1 в ff.
f(ln(arcsin(x)2-1))=sin(eln(arcsin(x)2-1)+1)f(ln(arcsin(x)21))=sin(eln(arcsin(x)21)+1)
Этап 5.3.3
Экспонента и логарифм являются обратными функциями.
f(ln(arcsin(x)2-1))=sin(arcsin(x)2-1+1)f(ln(arcsin(x)21))=sin(arcsin(x)21+1)
Этап 5.3.4
Добавим -1 и 1.
f(ln(arcsin(x)2-1))=sin(arcsin(x)2+0)
Этап 5.3.5
Добавим arcsin(x)2 и 0.
f(ln(arcsin(x)2-1))=sin(arcsin(x)2)
Этап 5.3.6
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
f(ln(arcsin(x)2-1))=sin(arcsin(x))
Этап 5.3.7
Синус и арксинус — обратные функции.
f(ln(arcsin(x)2-1))=x
f(ln(arcsin(x)2-1))=x
Этап 5.4
Так как f-1(f(x))=x и f(f-1(x))=x, то f-1(x)=ln(arcsin(x)2-1) — обратная к f(x)=sin(ex+1).
f-1(x)=ln(arcsin(x)2-1)
f-1(x)=ln(arcsin(x)2-1)
 [x2  12  π  xdx ]