Конечная математика Примеры

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ в виде уравнения.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из синуса.

$u = \arcsin (x)$

Этап 3.4

Подставить $\sqrt{e^{y} + 1}$ вместо $u$ и решить $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e^{y} + 1}$ в виде ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Упростим.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Этап 3.4.3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ обратной к $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Этап 5.3.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Этап 5.3.5

Добавим ${\arcsin (x)}^{2}$ и $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Этап 5.3.7

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ — обратная к $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$