Конечная математика Примеры

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Этап 1

Запишем

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ в виде уравнения.

y = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = sin (\sqrt{e^{y} + 1})

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Этап 3.2

Подставим

u

$u$ вместо

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ .

sin (u) = x

$\sin (u) = x$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

u

$u$ из синуса.

u = arcsin (x)

$u = \arcsin (x)$

Этап 3.4

Подставить

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ вместо

u

$u$ и решить

\sqrt{e^{y} + 1} = arcsin (x)

$\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

{\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ в виде

{(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в

{({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

{(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

{(e^{y} + 1)}^{1} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

{(e^{y} + 1)}^{1} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

{(e^{y} + 1)}^{1} = {arcsin (x)}^{2}

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Упростим.

e^{y} + 1 = {arcsin (x)}^{2}

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

e^{y} + 1 = {arcsin (x)}^{2}

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

e^{y} + 1 = {arcsin (x)}^{2}

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

e^{y} + 1 = {arcsin (x)}^{2}

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Этап 3.4.3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

e^{y} = {arcsin (x)}^{2} - 1

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Этап 3.4.3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{y}) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Развернем

ln (e^{y})

$\ln (e^{y})$ , вынося

y

$y$ из логарифма.

y ln (e) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

y \cdot 1 = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 3.4.3.3.3

Умножим

y

$y$ на

1

$1$ .

y = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

y = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

y = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

y = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

y = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 4

Заменим

y

$y$ на

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

f^{- 1} (x) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Этап 5

Проверим, является ли

f^{- 1} (x) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ обратной к

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

f^{- 1} (sin (\sqrt{e^{x} + 1}))

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ , подставив значение

f

$f$ в

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = ln ({arcsin (sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

f^{- 1} (sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = ln ({arcsin (sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Этап 5.3

Найдем значение

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1))

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ , подставив значение

f^{- 1}

$f^{- 1}$ в

f

$f$ .

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = sin (\sqrt{e^{ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = sin (\sqrt{{arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Этап 5.3.4

Добавим

- 1

$- 1$ и

1

$1$ .

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = sin (\sqrt{{arcsin (x)}^{2} + 0})

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Этап 5.3.5

Добавим

{arcsin (x)}^{2}

${\arcsin (x)}^{2}$ и

0

$0$ .

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = sin (\sqrt{{arcsin (x)}^{2}})

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = sin (arcsin (x))

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Этап 5.3.7

Синус и арксинус — обратные функции.

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = x

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

f (ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)) = x

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Этап 5.4

Так как

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

f^{- 1} (x) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ — обратная к

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

f^{- 1} (x) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

f^{- 1} (x) = ln ({arcsin (x)}^{2} - 1)

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$