Конечная математика Примеры

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

Этап 1

Запишем $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ в виде уравнения.

$y = 1.5 x^{2} - 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 1.5 y^{2} - 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1.5 y^{2} - 4 = x$ .

$1.5 y^{2} - 4 = x$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$1.5 y^{2} = x + 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $1.5 y^{2} = x + 4$ на $1.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $1.5 y^{2} = x + 4$ на $1.5$ .

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $1.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим на $1$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем множитель $1.5$ из $1.5$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3.1.3

Разделим дроби.

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $1$ на $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3.1.5

Разделим $x$ на $1$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

Этап 3.3.3.1.6

Разделим $4$ на $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ обратной к $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 4, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $2.\overline{6}$ из обеих частей неравенства.

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ на $0.\overline{6}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ на $0.\overline{6}$ .

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $0.\overline{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 2.\overline{6}$ на $0.\overline{6}$ .

$x \geq - 4$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 4, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ не является функцией, обратной к $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Обратная не существует

Этап 6