Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ в виде уравнения.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Этап 3.3.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ на $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Этап 3.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Этап 3.3.1.3.2

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Этап 3.3.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель $y + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Этап 3.3.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Этап 3.3.1.4.2

Сократим общий множитель $y - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Этап 3.3.1.4.2.2

Разделим $8 y$ на $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $8 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Этап 3.4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.3

Подставим значения $a = x$ , $b = - 8$ и $c = - 64 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Этап 3.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.4

Умножим $- 4$ на $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 + 256 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.5.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.5.2

Вынесем множитель $64$ из $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.5.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.6

Перепишем $64 (1 + 4 x^{2})$ в виде $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.6.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.4.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 + 256 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.5.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.5.2

Вынесем множитель $64$ из $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.5.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.6

Перепишем $64 (1 + 4 x^{2})$ в виде $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.6.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.5.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.5.2

Упростим $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.5.4

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.5.4.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Этап 3.4.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.3.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.5

Вынесем множитель $64$ из $64 + 256 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.5.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.5.2

Вынесем множитель $64$ из $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.5.3

Вынесем множитель $64$ из $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.6

Перепишем $64 (1 + 4 x^{2})$ в виде $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.6.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.6.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Этап 3.4.6.2

Упростим $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.6.4

Вынесем множитель $4$ из $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.6.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Этап 3.4.6.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Этап 3.4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ обратной к $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{2} \geq - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} \geq - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} \geq - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.2.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Обратная не существует

Этап 6