Конечная математика Примеры

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{4 y} - 2 = x$ .

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y}$ в виде ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Этап 2.4.3.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 2.4.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 2.4.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 2.5

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 2.5.3.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Этап 2.5.3.1.2

Разделим $4$ на $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ обратной к $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x}$ в виде ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.2

Применим правило умножения к $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.6

Найдем экспоненту.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.8

Применим правило умножения к $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.3

Разделим ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.4

Перепишем ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ в виде $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.5

Развернем $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.6.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.6.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.2

Упростим $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.4

Перепишем $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ в виде $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.5

Перепишем $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ в виде $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.6.2

Вычтем $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Этап 4.2.4.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Этап 4.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Этап 4.2.5.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Этап 4.2.5.2.2

Добавим $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Этап 4.3.3.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Этап 4.3.3.1.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Этап 4.3.3.1.5

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Этап 4.3.3.1.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Этап 4.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Этап 4.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Этап 4.3.3.4

Применим правило умножения к $\frac{x + 2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Этап 4.3.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Этап 4.3.3.6

Объединим $4$ и $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Этап 4.3.3.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1

Сократим выражение $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.7.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Этап 4.3.3.7.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Этап 4.3.3.7.2

Разделим ${(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Этап 4.3.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ — обратная к $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$