Конечная математика Примеры

$y = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{7 y}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7 y}{5} + \frac{16}{5} = x$ .

$\frac{7 y}{5} + \frac{16}{5} = x$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{16}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{7 y}{5} = x - \frac{16}{5}$

Этап 2.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5} = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим $\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7 y}{5} = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y$ .

$\frac{1}{7} (7 (y)) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\frac{5}{7} (x - \frac{16}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{7} x + \frac{5}{7} (- \frac{16}{5})$

Этап 2.4.2.1.2

Объединим $\frac{5}{7}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} (- \frac{16}{5})$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16}{5}$ в числитель.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{- 16}{5}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{5}{7} \cdot \frac{- 16}{5}$

Этап 2.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{1}{7} \cdot - 16$

Этап 2.4.2.1.4

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 16$ .

$y = \frac{5 x}{7} + \frac{- 16}{7}$

Этап 2.4.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$ обратной к $f (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5})}{7} - \frac{16}{7}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) - 16}{7}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5}) + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Этап 4.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 5 (\frac{16}{5}) - 16}{7}$

Этап 4.2.4.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 16 - 16}{7}$

Этап 4.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Объединим противоположные члены в $7 x + 16 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Этап 4.2.5.1.2

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7})}{5} + \frac{16}{5}$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{7}) + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (- \frac{16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16}{7}$ в числитель.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 7 (\frac{- 16}{7}) + 16}{5}$

Этап 4.3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x - 16 + 16}{5}$

Этап 4.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Объединим противоположные члены в $5 x - 16 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Добавим $- 16$ и $16$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Этап 4.3.5.1.2

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 4.3.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$ — обратная к $f (x) = \frac{7 x}{5} + \frac{16}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{7} - \frac{16}{7}$