Конечная математика Примеры

$x y + 2 y = 1$

Этап 1

Вынесем множитель $y$ из $x y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x + 2 y = 1$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y x + y \cdot 2 = 1$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $y (x + 2) = 1$ на $x + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $y (x + 2) = 1$ на $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x + 2}$

Этап 3

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{y + 2}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{y + 2} = x$

Этап 4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 2, 1$

Этап 4.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 2, 1$

Этап 4.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 2$

Этап 4.3

Каждый член в $\frac{1}{y + 2} = x$ умножим на $y + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y + 2} = x$ на $y + 2$ .

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 2} (y + 2) = x (y + 2)$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (y + 2)$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x y + x \cdot 2$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$1 = x y + 2 x$

Этап 4.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y + 2 x = 1$ .

$x y + 2 x = 1$

Этап 4.4.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y = 1 - 2 x$

Этап 4.4.3

Разделим каждый член $x y = 1 - 2 x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Разделим каждый член $x y = 1 - 2 x$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Этап 4.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Этап 4.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Этап 4.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Этап 4.4.3.3.1.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x} - 2$

Этап 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$

Этап 6

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ обратной к $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 6.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 6.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{x + 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 2}} - 2$

Этап 6.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = 1 (x + 2) - 2$

Этап 6.2.3.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 2 - 2$

Этап 6.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x + 0$

Этап 6.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 2}) = x$

Этап 6.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 6.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{x} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 2) + 2}$

Этап 6.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Этап 6.3.3.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 6.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{x} - 2) = 1 x$

Этап 6.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1}{x} - 2) = x$

Этап 6.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 2$