Конечная математика Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$ .

$2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3} - 15 x^{2} - 144 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 15 x^{2} - 144 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 15 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) - 144 x = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 144 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2}) + x (- 15 x)$ .

$x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144 = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2} - 15 x) + x \cdot - 144$ .

$x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 x^{2} - 15 x - 144$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 15 x - 144$ к $0$ .

$2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 x^{2} - 15 x - 144 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 15$ и $c = - 144$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 144)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Добавим $225$ и $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $1377$ в виде $9^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $81$ из $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Добавим $225$ и $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $1377$ в виде $9^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $81$ из $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 2 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 8 \cdot - 144}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 144$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1152}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Добавим $225$ и $1152$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{1377}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $1377$ в виде $9^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $81$ из $1377$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{81 (17)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{9^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{15 \pm 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x^{2} - 15 x - 144) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, \frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.4

Упростим $2 {(0)}^{3} - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 - 15 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 15 \cdot 0 - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 15$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 144$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\frac{15 + 9 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{15 - 9 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4