Конечная математика Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Этап 1.2.2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4 \cdot 27 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.3

Умножим $4$ на $27$ .

$108 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$108 - 9 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.5

Умножим $- 9$ на $9$ .

$108 - 81 - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.6

Вычтем $81$ из $108$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Этап 1.2.2.3.7

Умножим $- 8$ на $3$ .

$27 - 24 - 3$

Этап 1.2.2.3.8

Вычтем $24$ из $27$ .

$3 - 3$

Этап 1.2.2.3.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3}{x - 3}$

Этап 1.2.2.5

Разделим $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x$

$3$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Этап 1.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 1.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 9 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 1.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Этап 1.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Этап 1.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Этап 1.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Этап 1.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Этап 1.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Этап 1.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 1.2.2.6

Запишем $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $4 x^{2} + 3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $4 x^{2} + 3 x + 1$ к $0$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{7})}{8}$

Этап 1.2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{7})}{8}$

Этап 1.2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{7})}{8}$

Этап 1.2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{7})}{8}$

Этап 1.2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(3, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.4

Упростим $4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 9$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 3$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 3$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 3$

Этап 2.2.4.2.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$y = - 3$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 3)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(3, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 3)$

Этап 4