Конечная математика Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$

Этап 1

Приравняем $3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$ к $0$ .

$3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 12 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 12 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 12 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x (1) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x)$ .

$3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (1) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (1)$ .

$3 x (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 0, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

Этап 4