Конечная математика Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 5 x - 6$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{5}{8}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{5}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 {(- \frac{5}{8})}^{2} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{5^{2}}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{64}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 (16)}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 \cdot 16}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.7

Умножим $5 (- \frac{5}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - 5 (\frac{5}{8}) - 6$

Этап 3.2.1.7.2

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{8} - 6$

Этап 3.2.1.7.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 25}{8} - 6$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25}{8} - 6$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{25}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - (\frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{25}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - 6$

Этап 3.2.2.3

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.2.6

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.2.7

Умножим $2$ на $8$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{16} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 16}{16}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 6$ на $16$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 96}{16}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 25 - 96}{16}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $96$ из $- 25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 121}{16}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5}{8}) = - \frac{121}{16}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{121}{16}$ .

$- \frac{121}{16}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{5}{8}, - \frac{121}{16})$

Этап 5