Конечная математика Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (- 2)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2}{2 (- 2)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{2}{2 (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 4$

Этап 3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 1 + 4$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + 4$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 4$

Этап 3.2.2.4

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{1}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 8}{2}$

Этап 3.2.4.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 8}{2}$

Этап 3.2.4.3

Добавим $1$ и $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

Этап 5