Конечная математика Примеры

f (x) = x^{2} - 1

$f (x) = x^{2} - 1$

Этап 1

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , где

p

$p$ — делитель константы, а

q

$q$ — делитель старшего коэффициента.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Этап 2

Применим схему Горнера к

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ при

x = 1

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Этап 2.2

Первое число в делимом

(1)

$(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(1)

$(1)$ под следующим членом делимого

(0)

$(0)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(1)

$(1)$ под следующим членом делимого

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$

Этап 2.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

(1) x + 1

$(1) x + 1$

Этап 2.8

Упростим частное многочленов.

x + 1

$x + 1$

x + 1

$x + 1$

Этап 3

Поскольку

1 > 0

$1 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными,

1

$1$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница:

1

$1$

Этап 4

Применим схему Горнера к

\frac{x^{2} - 1}{x + 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ при

x = - 1

$x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

Этап 4.2

Первое число в делимом

(1)

$(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(- 1)

$(- 1)$ и запишем их произведение

(- 1)

$(- 1)$ под следующим членом делимого

(0)

$(0)$ .

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата

(- 1)

$(- 1)$ на делитель

(- 1)

$(- 1)$ и запишем их произведение

(1)

$(1)$ под следующим членом делимого

$(- 1)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$	$0$

Этап 4.7

$(1) x - 1$

Этап 4.8

Упростим частное многочленов.

$x - 1$

Этап 5

Поскольку

$- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются,

$- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница:

$- 1$

Этап 6

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхняя граница:

$1$

Нижняя граница:

$- 1$

Этап 7