Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{2} - 1$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$0$	$- 1$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$0$	$- 1$

	$1$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$0$

Этап 2.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(1) x + 1$

Этап 2.8

Упростим частное многочленов.

$x + 1$

Этап 3

Поскольку $1 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $1$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$

	$1$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$
	$1$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$
	$1$	$- 1$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$0$	$- 1$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$	$0$

Этап 4.7

$(1) x - 1$

Этап 4.8

Упростим частное многочленов.

$x - 1$

Этап 5

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 6

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхняя граница: $1$

Нижняя граница: $- 1$

Этап 7