Конечная математика Примеры

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

Этап 1

Добавим $- x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

Этап 3

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 3.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 3.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 5)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$

Этап 3.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$	$- 14$

Этап 3.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(14)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$

Этап 3.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$	$20$

Этап 3.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Этап 3.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Этап 4

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 5

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ при $x = - \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 5.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 5.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- \frac{1}{5})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$

Этап 5.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$	$- 10$

Этап 5.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 10)$ на делитель $(- \frac{1}{5})$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$

Этап 5.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$	$8$

Этап 5.7

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

Этап 5.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

Этап 6

Поскольку $- \frac{1}{5} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{1}{5}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{1}{5}$

Этап 7

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 7.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 7.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(10)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$

Этап 7.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$	$1$

Этап 7.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$

Этап 7.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$	$8$

Этап 7.7

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Этап 7.8

Упростим частное многочленов.

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Этап 8

Поскольку $2 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $2$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $2$

Этап 9

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ при $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 9.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 9.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$

Этап 9.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$	$- 19$

Этап 9.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 19)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(38)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$

Этап 9.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$	$44$

Этап 9.7

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Этап 9.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Этап 10

Поскольку $- 2 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 2$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 2$

Этап 11

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ при $x = - \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 11.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 11.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- \frac{2}{5})$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$

Этап 11.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$	$- 11$

Этап 11.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 11)$ на делитель $(- \frac{2}{5})$ и запишем их произведение $(\frac{22}{5})$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$

Этап 11.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$	$\frac{52}{5}$

Этап 11.7

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

Этап 11.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

Этап 12

Поскольку $- \frac{2}{5} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{2}{5}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{2}{5}$

Этап 13

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 13.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 13.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$

Этап 13.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$	$6$

Этап 13.5

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$

Этап 13.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$	$24$

Этап 13.7

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Этап 13.8

Упростим частное многочленов.

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Этап 14

Поскольку $3 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $3$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $3$

Этап 15

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ при $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 15.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 15.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 15)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$

Этап 15.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$	$- 24$

Этап 15.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 24)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(72)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$

Этап 15.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$	$78$

Этап 15.7

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Этап 15.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Этап 16

Поскольку $- 3 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 3$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 3$

Этап 17

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ при $x = - \frac{3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 17.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 17.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- \frac{3}{5})$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$

Этап 17.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$	$- 12$

Этап 17.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(- \frac{3}{5})$ и запишем их произведение $(\frac{36}{5})$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

Этап 17.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

Этап 17.7

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

Этап 17.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

Этап 18

Поскольку $- \frac{3}{5} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{3}{5}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{3}{5}$

Этап 19

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ при $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$6$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 19.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 19.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(30)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

Этап 19.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

Этап 19.5

Умножим последний элемент в области результата $(21)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(126)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

Этап 19.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

Этап 19.7

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Этап 19.8

Упростим частное многочленов.

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Этап 20

Поскольку $6 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $6$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $6$

Этап 21

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ при $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 21.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 21.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

Этап 21.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

Этап 21.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 39)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(234)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

Этап 21.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

Этап 21.7

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Этап 21.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Этап 22

Поскольку $- 6 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 6$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 6$

Этап 23

Применим схему Горнера к $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ при $x = - \frac{6}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Этап 23.2

Первое число в делимом $(5)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Этап 23.3

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- \frac{6}{5})$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

Этап 23.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

Этап 23.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 15)$ на делитель $(- \frac{6}{5})$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

Этап 23.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

Этап 23.7

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

Этап 23.8

Упростим частное многочленов.

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

Этап 24

Поскольку $- \frac{6}{5} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{6}{5}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{6}{5}$

Этап 25

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $2, 3, 6$

Нижние границы: $- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

Этап 26