Конечная математика Примеры

$f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ в виде уравнения.

$y = 4 + {(x + 3)}^{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 + {(y + 3)}^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 + {(y + 3)}^{2} = x$ .

$4 + {(y + 3)}^{2} = x$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

${(y + 3)}^{2} = x - 4$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 3 = \pm \sqrt{x - 4}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y + 3 = \sqrt{x - 4}$

Этап 3.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

Этап 3.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y + 3 = - \sqrt{x - 4}$

Этап 3.4.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

$y = \sqrt{x - 4} - 3$

$y = - \sqrt{x - 4} - 3$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ обратной к $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[4, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{x - 4} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 4 \geq 0$

Этап 5.3.2

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 4$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[4, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ , представляет область определения $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$ — обратная к $f (x) = 4 + {(x + 3)}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 4} - 3, - \sqrt{x - 4} - 3$

Этап 6