Конечная математика Примеры

${(2 p - q)}^{6}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 p - q)}^{6}$ $n = 6$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $7$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 p$ и $b$ $- q$ в выражение.

$1 {(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 p)}^{6}$ на $1$ .

${(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 p$ .

$2^{6} p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $6$ .

$64 p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} ({(- 1)}^{0} q^{0}) + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$64 \cdot 1 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.7

Умножим $64$ на $1$ .

$64 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$64 p^{6} \cdot 1 + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.9

Умножим $64$ на $1$ .

$64 p^{6} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $2 p$ .

$64 p^{6} + 6 (2^{5} p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.11

Возведем $2$ в степень $5$ .

$64 p^{6} + 6 (32 p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.12

Умножим $32$ на $6$ .

$64 p^{6} + 192 p^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.13

Упростим.

$64 p^{6} + 192 p^{5} (- q) + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 p^{6} + 192 \cdot - 1 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.15

Умножим $192$ на $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (2^{4} p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.17

Возведем $2$ в степень $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (16 p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.18

Умножим $16$ на $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} ({(- 1)}^{2} q^{2}) + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot {(- 1)}^{2} p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.21

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot 1 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.22

Умножим $240$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (2^{3} p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.24

Возведем $2$ в степень $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (8 p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.25

Умножим $8$ на $20$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.26

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} ({(- 1)}^{3} q^{3}) + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.27

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot {(- 1)}^{3} p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.28

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot - 1 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.29

Умножим $160$ на $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.30

Применим правило умножения к $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (2^{2} p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.31

Возведем $2$ в степень $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (4 p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.32

Умножим $4$ на $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.33

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} ({(- 1)}^{4} q^{4}) + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.34

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot {(- 1)}^{4} p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.35

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot 1 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.36

Умножим $60$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.37

Упростим.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 (2 p) {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.38

Умножим $2$ на $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.39

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p ({(- 1)}^{5} q^{5}) + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.40

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{5} p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.41

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot - 1 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.42

Умножим $12$ на $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.43

Умножим ${(2 p)}^{0}$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.44

Применим правило умножения к $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 2^{0} p^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.45

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 p^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.46

Умножим $p^{0}$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + p^{0} {(- q)}^{6}$

Этап 4.47

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(- q)}^{6}$

Этап 4.48

Умножим ${(- q)}^{6}$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- q)}^{6}$

Этап 4.49

Применим правило умножения к $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- 1)}^{6} q^{6}$

Этап 4.50

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 q^{6}$

Этап 4.51

Умножим $q^{6}$ на $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + q^{6}$