Конечная математика Примеры

${(1 + 2 i)}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(1 + 2 i)}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $1$ и $b$ $2 i$ в выражение.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.6

Упростим.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.8

Найдем экспоненту.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.10

Применим правило умножения к $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.13

Умножим $3 (4 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.13.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.14

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.14.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.15

Упростим $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Этап 4.1.16

Применим правило умножения к $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Этап 4.1.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Этап 4.1.18

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Этап 4.1.19

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Этап 4.1.20

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Этап 4.1.21

Умножим $- 1$ на $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Этап 4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $12$ из $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Этап 4.2.2

Вычтем $8 i$ из $6 i$ .

$- 11 - 2 i$