Конечная математика Примеры

$2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ , $u = n^{- 1}$

Этап 1

Решим относительно $n$ в $2 n^{- 2} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{n^{2}}) + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{n^{2}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 n^{- 1} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + 15 (\frac{1}{n}) + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.1.4

Объединим $15$ и $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

$\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$n^{2}, n, 1, 1$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.2

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n^{1}$ .

Since $n^{2}, n, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $n^{2}, n$ .

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

$1$ перечисляет простые множители каждого числа.

$2$ Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.6

Множители $n^{2}$ — $n \cdot n$ , то есть $n$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$n^{2} = n \cdot n$

n occurs $2$ times.

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.7

Множителем $n^{1}$ является само значение $n$ .

$n = n$

n occurs $1$ time.

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.8

НОК $n^{2}, n^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$n \cdot n$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.2.9

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3

Каждый член в $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ умножим на $n^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{n^{2}} + \frac{15}{n} + 28 = 0$ на $n^{2}$ .

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + \frac{15}{n} \cdot n^{2} + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.2.1.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $n$ из $n^{2}$ .

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{15}{n} \cdot (n \cdot n) + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0 n^{2}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $0$ на $n^{2}$ .

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

$2 + 15 n + 28 n^{2} = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Изменим порядок членов.

$28 n^{2} + 15 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 28 \cdot 2 = 56$ , а сумма — $b = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вынесем множитель $15$ из $15 n$ .

$28 n^{2} + 15 (n) + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.2.2

Запишем $15$ как $7$ плюс $8$

$28 n^{2} + (7 + 8) n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

$28 n^{2} + 7 n + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(28 n^{2} + 7 n) + 8 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

$7 n (4 n + 1) + 2 (4 n + 1) = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 n + 1$ .

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

$(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3

Приравняем $4 n + 1$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Приравняем $4 n + 1$ к $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3.2

Решим $4 n + 1 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 n = - 1$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3.2.2

Разделим каждый член $4 n = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 n = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4

Приравняем $7 n + 2$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Приравняем $7 n + 2$ к $0$ .

$7 n + 2 = 0$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4.2

Решим $7 n + 2 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$7 n = - 2$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2

Разделим каждый член $7 n = - 2$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.1

Разделим каждый член $7 n = - 2$ на $7$ .

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 n}{7} = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = \frac{- 2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Этап 1.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 n + 1) (7 n + 2) = 0$ верно.

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}, - \frac{2}{7}$

$u = n^{- 1}$

Этап 2

Заменим все вхождения $n$ на $- \frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $n$ в $u = n^{- 1}$ на $- \frac{1}{4}$ .

$u = {(- \frac{1}{4})}^{- 1}$

$n = - \frac{1}{4}$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

$u = - 4$

$n = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Заменим все вхождения $n$ на $- \frac{2}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $n$ в $u = n^{- 1}$ на $- \frac{2}{7}$ .

$u = {(- \frac{2}{7})}^{- 1}$

$n = - \frac{2}{7}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

$u = - \frac{7}{2}$

$n = - \frac{2}{7}$

Этап 4

Перечислим все решения.

$u = - 4, n = - \frac{1}{4}$

$u = - \frac{7}{2}, n = - \frac{2}{7}$