Конечная математика Примеры

$9 x^{4} + 98 x^{2} - 11$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$9 u^{2} + 98 u - 11 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 11 = - 99$ , а сумма — $b = 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $98$ из $98 u$ .

$9 u^{2} + 98 (u) - 11 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $98$ как $- 1$ плюс $99$

$9 u^{2} + (- 1 + 99) u - 11 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 u^{2} - 1 u + 99 u - 11 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 u^{2} - 1 u) + 99 u - 11 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (9 u - 1) + 11 (9 u - 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 11) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Этап 4

Приравняем $9 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $9 u - 1$ к $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $9 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 u = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Этап 5

Приравняем $u + 11$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u + 11$ к $0$ .

$u + 11 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$u = - 11$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 u - 1) (u + 11) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{9}, - 11$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 9.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 11$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 11}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{- 11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Этап 11.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{11}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{11}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{11}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Этап 12

Решением $9 x^{4} + 98 x^{2} - 11 = 0$ является $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Этап 13