Конечная математика Примеры

$a^{3} - 25 a < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$a^{3} - 25 a = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{3} - 25 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{3}$ .

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $a$ из $- 25 a$ .

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ .

$a (a^{2} - 25) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $a$ к $0$ .

$a = 0$

Этап 5

Приравняем $a + 5$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + 5$ к $0$ .

$a + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$a = - 5$

Этап 6

Приравняем $a - 5$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $a - 5$ к $0$ .

$a - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$a = 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $a (a + 5) (a - 5) = 0$ верно.

$a = 0, - 5, 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $a < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $a < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $a$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 312$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < a < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < a < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = - 2$

Этап 9.2.2

Заменим $a$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $42$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $0 < a < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < a < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $a$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 42$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $a > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $a > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 8$

Этап 9.4.2

Заменим $a$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $312$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$a < - 5$ Истина

$- 5 < a < 0$ Ложь

$0 < a < 5$ Истина

$a > 5$ Ложь

$a < - 5$ Истина

$- 5 < a < 0$ Ложь

$0 < a < 5$ Истина

$a > 5$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$a < - 5$ или $0 < a < 5$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Этап 12