Конечная математика Примеры

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

Этап 1

Добавим $- 6 x^{9}$ и $10 x^{9}$ .

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

Этап 2

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 3

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 4

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Этап 5

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Этап 5.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

Этап 5.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

Этап 5.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

Этап 5.1.6

Умножим $- 126$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 6

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

Этап 7

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

Этап 7.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

Этап 7.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

Этап 7.5

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 126)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

Этап 7.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Этап 7.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 126)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Этап 7.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Этап 7.9

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Этап 7.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Этап 7.11

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Этап 7.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.13

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.14

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.15

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.16

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.17

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.18

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.19

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.20

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.21

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.22

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Этап 7.23

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

Этап 7.24

Упростим частное многочленов.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

Этап 8

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $2 x^{9}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $4 x^{8}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

Этап 8.3

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $- 126 x^{7}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Этап 8.4

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Этап 8.5

Вынесем множитель $2 x^{7}$ из $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 63$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 63$ , а сумма — $2$ .

$- 7, 9$

Этап 9.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

Этап 10

Добавим $- 6 x^{9}$ и $10 x^{9}$ .

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $2 x^{10}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $4 x^{9}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $- 126 x^{8}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Этап 11.1.4

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Этап 11.1.5

Вынесем множитель $2 x^{8}$ из $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

Этап 11.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 63$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

$- 7, 9$

Этап 11.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

Этап 11.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 13

Приравняем $x^{8}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x^{8}$ к $0$ .

$x^{8} = 0$

Этап 13.2

Решим $x^{8} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Этап 13.2.2

Упростим $\pm \sqrt[8]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Этап 13.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 13.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 14

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 14.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 15

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 15.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 0, 7, - 9$

Этап 17