Конечная математика Примеры

$x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$0$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 0$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 - 5 \cdot 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.5

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.7

Умножим $5$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Этап 4.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 36 (0)$

Этап 4.1.9

Умножим $- 36$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 36 (0)$

Этап 4.1.10

Умножим $36$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $0$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 0$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x}{x + 0}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$	$- 1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 5)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(- 36)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Этап 6.13

Умножим последний элемент в области результата $(36)$ на делитель $(0)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Этап 6.14

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Этап 6.15

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{5} + - 1 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + (- 36) x + 36$

Этап 6.16

Упростим частное многочленов.

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 36$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 5 x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 36 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} - 5 u - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.5

Разложим $u^{2} - 5 u - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 36$ , а сумма — $- 5$ .

$- 9, 4$

Этап 7.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 9) (u + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.9

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Этап 7.1.10

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 u + 36 = 0$

Этап 7.1.11

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 (u) + 36 = 0$

Этап 7.1.11.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 4 + 9) u + 36 = 0$

Этап 7.1.11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Этап 7.1.11.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Этап 7.1.11.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 4) - 9 (- u - 4) = 0$

Этап 7.1.11.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 4$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- u - 4) (u - 9) = 0$

Этап 7.1.12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 7.1.13

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 7.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.14.1

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 7.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 7.1.15

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.15.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 7.1.15.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.15.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4) - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.17

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.17.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.17.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.17.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 3) (x - 3) (x^{1 + 2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.17.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.18

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + 4 x - x^{2} - 4) = 0$

Этап 7.1.19

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} - x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Этап 7.1.20

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.20.1

Перепишем $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.20.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.20.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{3} - x^{2}) + 4 x - 4) = 0$

Этап 7.1.20.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} (x - 1) + 4 (x - 1)) = 0$

Этап 7.1.20.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Этап 7.1.20.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7.6

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 7.6.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 7.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 7.6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 7.6.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.6.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.6.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 7.6.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 7.6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 7.6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 7.6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 7.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 0) (x + 3) (x - 3) (x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$ .

$x = 0, - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Этап 10