Конечная математика Примеры

$42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{1}{14}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{1}{42}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{2}{21}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{7}, \pm \frac{4}{21}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{7}, \pm \frac{8}{21}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm \frac{16}{7}, \pm \frac{16}{21}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$42 {(- 4)}^{4} + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$42 \cdot 256 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.2

Умножим $42$ на $256$ .

$10752 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$10752 + 335 \cdot - 64 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.4

Умножим $335$ на $- 64$ .

$10752 - 21440 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.5

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$10752 - 21440 + 663 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.6

Умножим $663$ на $16$ .

$10752 - 21440 + 10608 - 24 \cdot - 4 - 16$

Этап 4.1.7

Умножим $- 24$ на $- 4$ .

$10752 - 21440 + 10608 + 96 - 16$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $21440$ из $10752$ .

$- 10688 + 10608 + 96 - 16$

Этап 4.2.2

Добавим $- 10688$ и $10608$ .

$- 80 + 96 - 16$

Этап 4.2.3

Добавим $- 80$ и $96$ .

$16 - 16$

Этап 4.2.4

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16}{x + 4}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(42)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

	$42$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(42)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(- 168)$ под следующим членом делимого $(335)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$	$167$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(167)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(- 668)$ под следующим членом делимого $(663)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$	$- 5$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 5)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(- 24)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 16)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$42 x^{3} + 167 x^{2} + (- 5) x - 4$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{238095}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0\overline{714285}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{095238}, \pm 2, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{571428}$

Этап 7.1.1.3

Подставим $- 0.\overline{142857}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{142857}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $- 0.\overline{142857}$ в многочлен.

$42 {(- 0.\overline{142857})}^{3} + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $- 0.\overline{142857}$ в степень $3$ .

$42 \cdot - 0.00291545 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $42$ на $- 0.00291545$ .

$- 0.12244897 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.4

Возведем $- 0.\overline{142857}$ в степень $2$ .

$- 0.12244897 + 167 \cdot 0.02040816 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $167$ на $0.02040816$ .

$- 0.12244897 + 3.40816326 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.6

Добавим $- 0.12244897$ и $3.40816326$ .

$3.28571428 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $- 5$ на $- 0.\overline{142857}$ .

$3.28571428 + 0.\overline{714285} - 4$

Этап 7.1.1.3.8

Добавим $3.28571428$ и $0.\overline{714285}$ .

$4 - 4$

Этап 7.1.1.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $- 0.\overline{142857}$ — известный корень, разделим многочлен на $7 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4}{7 x + 1}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ на $7 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$7 x$

$1$

$42 x^{3}$

$167 x^{2}$

$5 x$

$4$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $42 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $7 x$ .

					$6 x^{2}$
	$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$42 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $42 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $161 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$161 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $161 x^{2} + 23 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 28 x$ на член с максимальной степенью в делителе $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							-	$28 x$	-	$4$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 28 x - 4$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$
										$0$

Этап 7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$6 x^{2} + 23 x - 4$

Этап 7.1.1.6

Запишем $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ в виде набора множителей.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ , а сумма — $b = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $23$ из $23 x$ .

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 (x) - 4) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.2

Запишем $23$ как $- 1$ плюс $24$

$(7 x + 1) (6 x^{2} + (- 1 + 24) x - 4) = 0$

Этап 7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 x + 1) (6 x^{2} - 1 x + 24 x - 4) = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(7 x + 1) ((6 x^{2} - 1 x) + 24 x - 4) = 0$

Этап 7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(7 x + 1) (x (6 x - 1) + 4 (6 x - 1)) = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 x - 1$ .

$(7 x + 1) ((6 x - 1) (x + 4)) = 0$

Этап 7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 x + 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $7 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $7 x + 1$ к $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $7 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 1$

Этап 7.3.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 1$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Этап 7.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Этап 7.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{7}$

Этап 7.4

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $6 x - 1$ к $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $6 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 1$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Этап 7.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, - 4$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 4) (x + \frac{1}{7}) (x - \frac{1}{6})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$ .

$x = - 4, - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}$

Этап 10