Конечная математика Примеры

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Этап 4.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Этап 4.1.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$0 - 16 + 16$

Этап 4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$- 16 + 16$

Этап 4.2.3

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 16)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 16)$ под следующим членом делимого $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$4 x^{2} - 16$

Этап 7

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Этап 8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Этап 10.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Этап 10.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Этап 10.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Этап 10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Этап 10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Этап 10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Этап 10.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Этап 10.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Этап 10.5.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 10.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 14

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 14.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2, 2$

Этап 16