Конечная математика Примеры

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $10 x - 25 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перенесем $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.1.2

Изменим порядок $10 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $10 x$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $- 25$ в виде $- 1 (25)$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3

Разделим каждый член $- {(x - 5)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- {(x - 5)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 5$

$x > 5$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 9$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

$x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 5$ или $x > 5$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 10