Конечная математика Примеры

$- 3 x^{2} < - 9 x + 6$

Этап 1

Добавим $9 x$ к обеим частям неравенства.

$- 3 x^{2} + 9 x < 6$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 3 x^{2} + 9 x = 6$

Этап 3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 9 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $9 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) - 6 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 3 x) - 3 \cdot 2 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 3 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 \cdot 2 = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 3 x) - 3 (2)$ .

$- 3 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 3 {(0)}^{2} < - 9 \cdot 0 + 6$

Этап 10.1.3

Левая часть $0$ меньше правой части $6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$- 3 {(1.5)}^{2} < - 9 \cdot 1.5 + 6$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 6.75$ не меньше правой части $- 7.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$- 3 {(4)}^{2} < - 9 \cdot 4 + 6$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 48$ меньше правой части $- 30$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 1$ или $x > 2$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 1) \cup (2, \infty)$

Этап 13